Анатолий Сергеевич Бузинский родился 9 марта 1954 года в городе Каменск-Уральский.
Его мать, Евгений Константиновна Гришкевич, была уроженкой Гродненской области, а отец, Сергей Петрович Бузинских, сибиряк из посёлка Войновка Тюменской области. Родители Анатолия познакомились в 1944 году при эвакуации на Урал во время наступления Красной армии.

Будущий актёр учился в средней школе № 20, с 9-го класса школы занимался в народном театре Дома культуры Уральского алюминиевого завода.
После школы стал работать на Каменск-Уральском Металлургическом заводе. В 1972–1974 годах служил в Советской Армии в РВСН. Получил специальность телеграфиста. Даже в армии постоянно участвовал в самодеятельности, которая, кстати, не освобождала от военной службы.
С 1974 по 1978 года учился в Свердловском театральном училище на курсе Евгения Николаевича Агурова.
При поступлении попал сразу с первого тура на третий. А после окончания попал по распределению в Ирбитский театр, где играли замечательные актеры, но город был не по душе Анатолию, и он переехал в Тюмень.

С 1 октября 1978 года актер служил в труппе Тюменского драматического театра. Лишь дважды Анатолий Сергеевич расставался со своим театром. В 1988-1989 годах играл в Минске, но вскоре вернулся в Тюмень на родную сцену. С 1998 по 2001 годы руководил театральной студией «Вояж» при одном из тюменских вузов, после чего вновь вернулся в Тюменский драмтеатр.
В 1997 году Бузинский получил звание заслуженного артиста Российской Федерации: он награждался дипломами различных театральных смотров, конкурсов и фестивалей.
Тюменской публике Анатолий Сергеевич запомнился разноплановыми ролями: Дон Педро («Чудеса Пренебрежения»), графа -де Альбафьорита («Мирандолина»), Франсуа Вийона («Жажда над ручьем»), Лоренцо («...Чума на оба ваши дома!»), Э.Кина («Кин IV»), Д. Смита («SOS!» или особо любящий таксист«), Контузов («Районная больница») и др. 31 мая 2015 года Анатолий Сергеевич Бузинский ушел из жизни. Работы в театре: «Чудеса Пренебрежения»« — Дон Педро «Мирандолина» — граф де Альбафьорита «Жажда над ручьем» — Франсуа Вийона «...Чума на оба ваши дома!» — Лоренцо «Кин IV» — Э.Кина «SOS! или особо любящий таксист» — Д. Смита «Районная больница» — Контузов «За двумя зайцами...» Михайло Старицкий — Орест «Мольер» Михаил Булгаков — Брат Сила «Леди Макбет...» Николай Лесков — Старший приказчик «Банкрот» Александр Островский — Сысой Псоич Ризположенский, стряпчий «Марьино поле» Олег Богаев — Призрак прошлого «Кот в сапогах» Евгений Муравьев, Егор Шашин — Король