Родился 7 мая 1929 года в Баку в семье пианиста Георгия Шароева и деятеля советского телевидения Валентины Шароевой, брат режиссёра Иоакима Шароева.

Как утверждает сам Антон Георгиевич, его отец был внебрачным сыном певца Иоакима Тартакова, а тот, в свою очередь, — внебрачным сыном Антона Рубинштейна. В их честь отец и назвал своих сыновей Антоном и Иоакимом.

Окончил Центральную музыкальную школу в Москве, затем Московскую консерваторию по классу скрипки А.И. Ямпольского, занимался также дирижированием у Николая Аносова.

В 1948–1956 гг. играл вторую скрипку в Государственном Квартете имени Чайковского. Играл (на скрипке Амати из Госколлекции уникальных музыкальных инструментов) в составе с такими знаменитыми виртуозами, как Ю. Ситковецкий, Р. Баршай, Я. Слободкин. В творческом содружестве с квартетом находились великие музыканты современности — Дмитрий Шостакович, Святослав Рихтер, Мария Юдина, Г.Нейгауз.

В 1950 году стал лауреатом Международного конкурса скрипачей в Праге.

С 1963 по 1969 год возглавлял Киевский камерный оркестр.

В 1971 году возглавил Московский оркестр камерной музыки, который стал лауреатом III Международного фестиваля современной музыки в Берлине за исполнение 14-й симфонии Шостаковича.

В 1976 году вновь возглавил Киевский камерный оркестр и работал с ним по 1987 год. Антон Шароев вернул жизнь опере Д.Бортнянского «Алкид», написанной в 1778 году для Венецианского оперного театра и более 200 лет находившейся в забвении. Премьера оперы на итальянском языке состоялась в феврале 1984 года в Колонном зале Киевской филармонии.

В ноябре 1984 года постановка «Алкид» в Большом зале Московской консерватории (ноябрь 1984 года) стала значительным событием в культурной жизни столицы. В 2001 году премьеры оперы «Алкид» состоялись в Санкт-Петербурге и Тюмени.

В 1998 году Шароев переехал в Тюмень и стал первым руководителем камерного оркестра «Камерата Сибири». В его репертуаре более ста программ. Это, прежде всего, грандиозные и редко исполняемые баховские циклы «Искусство фуги», «Музыкальное приношение», «Бранденбургские концерты», сочинения Генделя, Телемана, Вивальди, Гайдна, Моцарта, Сальери, Шуберта, Стравинского, Бартока, Бриттена, Чайковского, Рубинштейна, Шостаковича, Свиридова, Щедрина, Шнитке, Сильвестрова. В 2003 году оркестр отправится на первые зарубежные гастроли в Испанию.

В 2002 году Антон Шароев вернул к жизни после 110 лет забвения еще одно грандиозное произведение — духовную оперу Антона Рубинштейна «Христос», которая является последним сочинением великого музыканта. Партитуру оперы А. Г. Шароев нашел 25 декабря 2007 года в Берлине. В декабре 2008 года состоялась премьера в Пермском театре оперы и балета, а через год, в день 180-летия со дня рождения Рубинштейна, она в концертном исполнении впервые прозвучала в Тюмени, позже — в Петербурге и Москве.

Активная творческая натура Антона Георгиевича по сей день заставляет его искать все новые формы концертной работы.