Родился 7 мая 1921 года в городе Анджеро-Судженске Кемеровской области.

В 1937 году поступил в Омское музыкальное училище. В 1940 призван в ряды Красной Армии. Воевал. Награжден орденом Отечественной войны II степени, медалью «За боевые заслуги». Демобилизовался в 1946 году.

Трудовую деятельность начал в 1947 году виолончелистом. В 1953 году назначен директором концертно-эстрадного бюро, которое через пять лет стало областной филармонией. Благодаря неистощимой энергии Леонида Мечиславовича с того времени проводились ежегодные праздники советской музыки, различные фестивали, например «Алябьевская музыкальная осень».

Был инициатором зарождения ныне традиционных музыкальных праздников — «Всероссийский конкурс вокалистов имени Ю.Гуляева», фестиваль «Тюменский меридиан», «Дни органной музыки» и других. Тюменцы познакомились с такими известными композиторами, как Френкель, Соловьев-Седой, Свиридов, Кацман, с оркестрами Силантьева, Карамышева, Михайлова. Русские народные хоры, ансамбли, знаменитые эстрадные артисты, гости из союзных республик неоднократно приглашались на сцену Тюменской филармонии.

В 1996 году в городе проведен второй конкурс имени народного артиста СССР Юрия Гуляева. Организуются вечера, посвященные памяти декабристов, дни органной музыки. Особое место в деятельности филармонии Л.З. Згерский отводил обслуживанию села. Так, в 1994 году в семи районах области проведен фестиваль «Играй, гармонь» с участием братьев Заволокиных. Л.З. Згерский руководил филармонией до 1996 года.

«Заслуженный работник культуры России». Бережно хранил он и боевые награды, и трудовые, среди которых есть ордена «Знак Почета» и Трудового Красного Знамени.

Решением городской Думы № 46 от 27.04. 1995 года Л.М. Згерский по праву удостоен почетного звания «Почетный гражданин города Тюмени».