В 1939 году окончил школу Гражданского воздушного флота в Балашове. После выпуска, с 1939 г., — летчик Тюменского авиационного предприятия.
В 1940 году призван в Красную армию. На фронте — с июня 1941 г. Летал на бомбардировщике.
К 1 сентября 1942 года старший лейтенант Быстрых совершил 168 боевых вылетов, из них 35 на разведку в расположение войск и аэродромов противника.
13 июля 1942 года отправился на задание в районе населенного пункта Ольшана и обнаружил аэродром противника, на котором находилось до 130 самолетов разного типа. Несмотря на огонь зенитной артиллерии и патрулирование истребителей, аэродром был сфотографирован.
28 июля того же года, проводил разведку на участке Калач — Цимлянск, был атакован тремя немецкими истребителями. Самолет был подбит и загорелся в 40 км от линии фронта. Самолет дотянули до линии фронта и, когда машина стала разваливаться, экипаж выпрыгнул на парашютах. При приземлении Быстрых и радист получили сильные ушибы, а штурман погиб.
8 августа 1942 года в районе населенного пункта Калач обнаружил аэродром противника, на котором находилось около 100 самолетов. В результате полученных сведений, в этот пункт вылетели штурмовики.
Награды: 1941 г. — орден Красного Знамени, 1942 г. — орден Ленина, медали «За отвагу» и «За боевые заслуги».
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 05.11.42 г. за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом отвагу и геройство Борису Степановичу Быстрых было присвоено звание Героя Советского Союза.
Погиб 3 июня 1943 года в Брянской области — самолет был подбит, Быстрых получил смертельное ранение. Похоронен в с. Пролысово (Навлинский район Брянской области).
(Герои Советского Союза. Краткий биографический словарь. В 2-х томах. — М.: Воениздат, 1987, 1988 гг.; Сталинградская битва. Хроника, факты, люди.: в 2 кн. — М.: ОЛМА-ПРЕСС, 2002. — Кн. 1.; Рытов А.Г. Рыцари пятого океана. — М.: Воениздат, 1968)