Родился 7 сентября 1922 года в селе Ражево (Голышмановский район Тюменской области) в семье крестьянина. Семья переехала на жительство в Ишим. Окончил среднюю школу в этом городе накануне войны.

В Красную армию призван Ишимским районным военкоматом Омской (ныне Тюменской) области в 1941 году. Отправлен в 1-е Томское артиллерийское училище на ускоренные курсы.

В действующей армии с апреля 1942 года. Воевал на Брянском и Воронежском (с 20 октября 1943 года — 1-й Украинский) фронтах. Член ВКП(б)/КПСС с 1943 года.

Старший лейтенант Ражев отличился при форсировании Днепра и в боях на плацдарме. 25 сентября 1943 года он переправил свою батарею на плацдарм и точным огнем отражал контратаки противника. Когда закончились боеприпасы и стрелковые подразделения начали отходить под натиском противника, Ражев организовал круговую оборону и огнем стрелкового оружия удержал занимаемые позиции. Раненый, он продолжал управлять боем до подхода подкреплений.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 декабря 1943 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками, форсирование реки Днепр и проявленные при этом отвагу и геройство старшему лейтенанту Ражеву Константину Ивановичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».

В Киевской оборонительной операции войска 40-й армии в декабре 1943 года отражали удары крупных сил противника. В ходе боев в районе села Мохначка (ныне Попельнянский район Житомирской области, Украина) К.И.Ражев организовал тщательную разведку противника, каждый день выявляя его огневые точки и уничтожая их. При переходе в наступление с началом Житомирско-Бердичевской операции точным огнем способствовал прорыву обороны противника, своевременно перемещаясь за наступающей пехотой, постоянно поддерживал взаимодействие, уничтожал вновь выявленные цели, прикрывал фланги, чем обеспечил успешное выполнение боевой задачи. Приказом командующего артиллерией 40-й армии награжден орденом Отечественной войны 1-й степени.

В дальнейшем участвовал в освобождении Правобережной Украины, сражался на территории Румынии, Венгрии, Чехословакии.

В 1946 году капитан К.И.Ражев ушел в запас.

В 1949 году окончил Днепропетровскую партийную школу, работал в Черкасском горкоме партии. Умер 13 декабря 1952 года. Похоронен в городе Черкассы (Украина).

Именем Героя названа улица в городе Ишим и поселке Голышманово Тюменской области.

(Герои Советского Союза: Краткий биографический словарь / Пред. ред. Коллегии И. Н. Шкадов. — М.:Воениздат, 1988. — Т. 2 /Любов — Ящук/. — 863 с.
Герои земли Тюменской. 2-е изд., доп / сост.: М. М. Никифорова, Н. Д. Радченко, Н. М. Сотников, Н. П. Стукалова. — Свердловск: Средне-Уральское книжное издательство, 1975)